有限元网格单元分类

为了确保稳定的分析性能和可靠的结果近似，网格划分非常重要。 网格划分是创建有限元并将这些元素连接起来以制定一组函数的过程。 通过用假想线分隔已知几何形状来创建有限元，然后通过指定单元边界处的节点连通性将单元相互连接。 每个元素都可以由一组矩阵表示（稍后显示），并且连接元素本质上将各个矩阵编译为 1 个结构矩阵。

根据形状，有限元可以分为一维、二维和三维。在本文中，我们将介绍这三种类型的有限元，解释它们的优缺点以及何时使用每种类型。

1、一维单元

一维单元（线单元）包括杆单元和梁单元，具体取决于它们的承载能力。 杆单元适合用于桁架建模，因为它们的承载能力在轴向方向上受到限制。 另一方面，梁单元适合建模框架，因为它们可以抵抗弯曲、扭转以及轴向力。 通常可以使用支撑之间每个跨度一个梁单元来对两个或多个支撑上连续的梁进行建模。 因此，当使用一维单元进行静态分析时，建模的离散化阶段变得微不足道，而对于应力分析，可以优先使用“结构力学矩阵方法”这一名称，而不是“FEA”[1]。

为了表示图 1 所示的轴向拉力杆，可以考虑以下因素来编译刚度矩阵。

长度为 L、横截面积为 A、弹性模量为 E 的棱柱杆，一端承受 P 作用，另一端固定。 棒材的拉伸伸长率可表示为：

图 2 显示了一个两节点条形单元，每个单独节点处的平衡如下：

可以写成矩阵格式为：

并且可以进一步简化为：

其中 [k] 是特征矩阵（刚度矩阵），{d} 是位移矢量，{r} 是与每个单独节点相关的载荷。

图 3 显示了具有两个节点的梁单元。 每个节点承受两个自由度（图 3a）和 2 个节点力（图 3b）。 利用欧拉-伯努利梁理论，可以形成以下矩阵方程：

使用插值和形状函数计算可以得到相同的单元刚度矩阵，

其中 [B] 是从形函数 [N] 获得的应变-位移矩阵。 我们还可以使用形状函数插值来获得 2D 和 3D 单元的刚度矩阵，如本文后面所示。

线单元广泛用于一般结构分析，以获得结构行为的概述，以及与其他类型单元（如连接件、加劲肋等）结合进行详细分析。在桥梁工程中，使用一维单元的一般结构分析给出 工程师全面了解桥梁结构行为，并为各种标准的设计规范检查提供构件力和力矩。

然而，为了获得有关局部结构区域的更多见解，或者在分析复杂的桥梁几何形状时，需要进行局部细化。 为了满足这些更高的分析要求，需要二维单元和三维单元。 图4（左）显示了使用一维单元的一般分析结果，图4（右）显示了使用二维单元对高力矩单元的精细分析。 局部详细分析中的节点力矩载荷是从一般分析结果中提取的。

2、二维单元

为了解决二维 (2D) 问题，需要 2D 单元。 与一维单元的刚度矩阵的构建方式类似，如方程 6 所示，二维单元的刚度矩阵也可以通过形状函数和插值来构建，

其中，[k] 是刚度矩阵，[B] 是从形状函数获得的应变-位移矩阵，[E] 是本构矩阵，t 是单元的厚度，A 是单元的面积 。

常见的二维问题包括平面应力、平面应变、壳、轴对称实体、土工格栅 2D 和测量壳单元。 平面应变和轴对称实体单元是 2D 形状单元，但它们用于表达 3D 应力状态 [2]。 常用的二维单元形状是具有 3 个节点的三角形单元，如图 5a 所示，此类单元称为恒应变三角形 (CST)，因为在应力分析中，线性位移场会产生恒应变场 [1 ]。 CST 单元效果不佳，因为“锁定”效应会使网格过于僵硬 [3]。 尽管细化网格有助于提高准确性，但它也会增加分析求解时间。 6 节点三角形单元可以改善“锁定”导致的不准确性。 如图 5b 所示，它们的顶点之间有中间节点。 6 节点三角形单元也称为线性应变三角形 (LST) 或二次三角形。

一个简单但较少使用的 2D 元素是 4 节点矩形元素 (Q4)，其边平行于全局坐标系。 该系统很容易自动构建，但不太适合近似倾斜边界[4]。 Q4 单元经历与 CST 单元相同的“锁定”效应，但是，可以通过添加中边缘节点使用二次矩形单元（Q8、Q9）来改善该问题。

3、三维单元

如图6(a)所示，四面体有4个节点，是最基本的三维有限元。 图6（b）显示了五面体（金字塔）单元，图6（c）显示了8节点长方体单元（Q8），图6（d）显示了8节点六面体等参单元。

与矩形Q4单元和CST单元类似，Q8也具有剪切锁定的缺点。 与 Q4 单元类似，Q8 矩形实体单元也很难对不规则几何体进行网格划分，特别是对于网格密度不同的几何体。 为了减少剪切锁定，向 Q8 单元添加中边节点会有所帮助，并且使单元等参将有助于提高网格划分的灵活性。 等参公式允许四边形和六面体元素具有非矩形形状 [1]。 当将这两项工作结合起来时，向线性等参六面体单元添加中边缘节点将使它们更加通用并产生更好的分析结果。

执行 3D 网格需要 3D 几何图形，它们来自 CAD 模型，需要更长的时间和更多的精力才能生成。 此外，包含 3D 元素的分析通常包含更多节点和元素，因此需要更长的时间来求解。 然而，二维分析需要更少的网格划分时间和求解时间。 2D 分析还提供了比 1D 分析更充足的结构信息，并产生接近 3D 分析的结果。 然而，只有当结构可以用板单元表示时，2D 分析才能取代 3D 分析。 当结构更复杂时，如图7所示，需要使用3D元素。

工程师有时会使用组合的 1D/2D/3D 网格对结构元素进行建模，以利用每种类型元素的优势，同时节省分析时间，如图 8 中的桥梁模型所示。

原文链接：Basic Finite Element Mesh Explained

BimAnt翻译整理，转载请标明出处