5个蒙特卡洛仿真实例
蒙特卡洛仿真（或概率仿真）是一种用于了解金融部门风险和不确定性、项目管理、成本和其他预测机器学习模型的影响的技术。
风险分析是我们做出的几乎每一个决定的一部分，因为我们经常面临生活中的不确定性、模糊性和多变性。此外，即使我们获得了前所未有的信息，我们也不能准确预测未来。
蒙特卡洛仿真使我们能够看到所有可能的结果，并评估风险影响，从而允许在不确定性下更好的决策。
在本文中，我们将通过五个不同的示例来理解蒙特卡洛仿真方法。本教程的代码可在Github及Google Colab 找到。
1、 掷硬币翻转示例
掷一个无偏硬币的正面向上的概率为 1/2。然而，我们有什么办法可以实验证明吗？在此示例中，我们将使用蒙特卡洛方法模拟掷硬币 5000 次，以找出为什么正面向上的概率始终为 1/2。如果我们重复掷这个硬币很多很多次，那么可以达到更高的准确性。
掷硬币时：
接下来，我们将用蒙特卡洛方法实验性地证明这个公式。
1、导入所需的库：
2. 掷硬币函数：
3.检查函数输出
4、主函数：
5、调用主函数：
如上图所示，我们在 5000 次迭代后，获得正面向上的概率为 0.502。因此，这就是我们如何使用蒙特卡洛仿真来找到概率值的实验。
2、使用圆和正方形估计 PI
要估计 PI 的价值，我们需要正方型和圆的面积。为了找到这些区域，我们将随机将点放在表面上，并计算落在圆圈内的点和落在正方形内的点。这将给我们估计他们的面积。因此，我们将使用点计数作为区域，而不是使用实际区域的大小。
在以下代码中，我们使用 Python 的turfle模块来查看点的随机位置。
1、导入需要的库
2、绘制点：
3、初始化必要的数据
4、主函数：
5、绘制数据图：
6、输出：
如上图 所示，经过 5000 次迭代后，我们可以获得 PI 的近似值。此外，请注意，随着迭代数的增加，估计误差也呈指数级下降。
3、Monty Hall问题
假设在一个游戏节目中， 你可以选择三扇门之一： 一扇门后面是一辆车; 其他门后面都是山羊。你挑一扇门，比方说门1，主持人，他知道门后面是什么，打开另一扇门，比如说门3，有一只山羊。主持人然后问你：你是要坚持你的选择还是选择另一扇门？
换门对你有利吗？
根据概率，换门对我们是有利的。让我们了解一下：
最初，对于所有三个门，获得汽车的概率（P）是相同的（P = 1/3）。
现在假设参赛者选择门 1。然后主持人打开第三扇门，门后面有一只山羊。接下来，主持人问参赛者是否想换门？
我们将看到为什么换门更有利：
在上图中，我们可以看到，在主持人打开3号门后，两扇门拥有汽车的概率增加到2/3。现在我们知道第三扇门有山羊，第二扇门有车的概率增加到2/3。因此，换门更有利。
现在，我们将使用蒙特卡洛方法多次执行此测试案例，并以实验方式找出其概率。
1、导入所需的库：
2、初始化一些数据：
3、主函数：
4、调用主函数：
5、输出：
在上图 中可以看到，在 1000 次迭代后，如果我们换门，那么中奖概率为 0.669。因此，我们相信，在本例中换门对我们有利。
4、Buffon's Needle问题：
：法国贵族Buffon，在1777年发布了以下问题：
假设我们在一张划线纸上扔一根短针——针头正好跨越线的位置的可能性是多大？
概率取决于纸上线条之间的距离（d），也取决于我们扔的针的长度（l），或者更确切地说，这取决于比率l/d。对于这个例子，我们可以认为针l ≤ d。简言之，我们的目的是假设针不能同时跨越两条不同的线。令人惊讶的是，这个问题的答案涉及PI。
在这里，我们将使用蒙特卡洛方法。然而，在进入之前，我们将展示解决方案是如何产生的，这使其更有趣。
定理：
如果一根长度为 l 的短针掉在用同样间隔的距离 d ≥ l 的划线的纸上，则针头恰好穿过其中一条线的概率是：
证明：
接下来，我们需要计算跨越任何垂直线的针数量。对于与其中一条线相交的针，对于该线的特定值，以下是针头可能与垂直线相交的最大值和最小值。
1、最大可能值：
2、最小可能值：
此，对于theta的特定值，针头位于垂直线的概率是：
上述概率公式仅限于theta的一个值：在我们的实验中，theta的价值范围从0到pi/2。接下来，我们将通过整合其所有可能值来找到实际概率。
接下来，我们将使用上述公式来通过实验找出PI的值。
现在，请注意，我们有 l 和 d 值。我们的目标是首先找到 P 的值，以便得到 PI 的价值。要找到概率 P，我们需要跨线针数量和针的总数。由于我们已经有针总数，我们现在唯一需要的就是跨线针的计数。
下图展示了我们将如何计算跨线针的数量：
1、导入所需的库：
2、主函数：
3、调用主函数：
4、输出：
如上图所示，经过100次迭代后，我们能够使用蒙特卡洛方法获得非常接近的PI值。
5、为什么庄家总是赢？
赌场如何赚钱？诀窍很简单 —— "你玩得越多， 赌场赚得越多。让我们通过一个简单的蒙特卡洛模拟示例来看看其运作原理。
考虑一个假想的游戏，玩家必须从一袋芯片中挑一个芯片。
规则：
- 袋子里装着1~100个芯片。
- 用户可以投注芯片数量为偶数或奇数。
- 在这个游戏中，10和11是特殊数字。如果我们押注于偶数，则 10 将计为奇数，如果我们押注奇数，则 11 将计为偶数。
- 如果我们押注偶数， 我们得到 10， 那么我们输了。
- 如果我们押注奇数， 我们得到 11， 那么我们输了。
如果我们押注奇数，我们获胜的概率为49/100。庄家获胜的概率是51/100。因此，对于一个奇数赌注，庄家的利润是 = 51/100- 49/100 = 200/10000 = 0.02 = 2%
如果我们押注于偶数，用户获胜的概率为 49/100。庄家获胜的概率是51/100。因此，对于一个偶数赌注，庄家的利润是 = 51/100-49/100 = 200/10000 = 0.02 = 2%
总之，每下1美元的赌注，其中0.02美元就归庄家的。相比之下，轮盘赌庄家的最低利润为2.5%。因此，我们确信，在假想的比赛中，你比轮盘赌更有可能获胜。
1、导入需要的库：
2、玩家下注：
3、主函数：
4、最终输出：
5、运行1000次：
6、下注次数 = 5：
7、下注次数 = 10：
8、下注次数 = 1000：
9、下注次数 = 5000：
10、下注次数 =10000：
从上述实验中，我们可以看到，如果玩家在这些游戏上的投注更少，他们更有可能盈利。在某些情况下，我们得到负数，这意味着玩家失去了所有的钱，并累积了债务而不是盈利。
6、结论
与任何预测模型一样，仿真最多做到和我们估计一样好。重要的是要记住，蒙特卡洛仿真只代表概率，而不是确定性。然而，蒙特卡洛仿真在预测未知的未来时可能是一个有价值的工具。
原文链接：Monte Carlo Simulation An In-depth Tutorial with Python
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