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矩阵乘法是什么意思？

一种常见的观点是矩阵乘法缩放/旋转/倾斜几何平面：

这在第一次学习向量时很有用：向量输入，新向量输出。不幸的是，这可能导致过度依赖几何可视化。

如果有 20 个家庭来参加你的烧烤，你如何估计你需要的热狗？（嗯……20 个家庭，假设每个家庭 3 人，每人 2 个热狗……大约 20 * 3 * 2 = 120 个热狗。）

你可能不会想“哦，我需要一个邀请-家庭规模-饥饿棱镜的体积！”。对于大型矩阵，我不会考虑 500 维向量，只会考虑要修改的数据。

另一种开发是矩阵乘法组成线性运算。

这是技术上准确的定义：是的，矩阵乘法会产生一个由原始函数组成的新矩阵。但是，有时被操作的矩阵不是线性运算，而是一组向量或数据点。我们需要另一种直觉来了解正在发生的事情。

我将以软件开发人员的观点来看待这个问题：

矩阵乘法与信息流有关，将数据转换为代码并转换回。

我认为线性代数是“数学电子表格”：

  • 我们将信息存储在各种电子表格（“矩阵”）中
  • 一些数据被视为要应用的函数，其他数据被视为要使用的数据点
  • 我们可以根据需要在向量和函数解释之间切换

有时我会将数据视为几何向量，有时我会将矩阵视为组合函数。但我主要考虑的是系统中的信息流动。

1、开发者的直觉：代码就是数据，数据就是代码

拿你最喜欢的食谱来说吧。如果你把这些词解释为指令，你最终会得到馅饼、松饼、蛋糕等。

如果你把这些词解释为数据，那么文本就是可以调整的散文：

  • 将测量单位转换为公制单位
  • 由于过敏而更换配料
  • 根据海拔高度或不同的设备进行调整

结果是一个新的食谱，可以进一步调整，或作为指令执行，制作不同的馅饼、松饼、蛋糕等。编译器将程序视为文本，对其进行修改，并最终输出“指令”——可能是另一层的文本。

这就是线性代数。我们将“3 4 5”等原始信息视为向量或函数，具体取决于它的写法：

按照惯例，垂直列通常是一个向量，水平行通常是一个函数：

  • [3; 4; 5] 表示 x = (3, 4, 5)。这里，x 是一个数据向量（我使用 ; 来分隔每行）。
  • [3 4 5] 表示 f(a, b, c) = 3a + 4b + 5c。这是一个接受三个输入并返回单个结果的函数。

然后就是顿悟时刻：数据就是代码，代码就是数据！

包含水平函数的行实际上可以是三个数据点（每个数据点都有一个元素）。垂直数据列实际上可以是三个不同的函数，每个函数都采用一个参数。

啊。这变得简洁了：根据期望的结果，我们可以以不同的顺序组合数据和代码。

2、矩阵转置

矩阵转置交换行和列。这是它在实践中的含义。

如果 x 是一个有 3 个条目的列向量（ [3; 4; 5] ），那么 x' 是：

  • 采用 3 个参数的函数（ [3 4 5]）
  • x'仍然可以保留为数据向量，但作为三个单独的条目。转置“将其拆分”。

类似地，如果 f = [3 4 5] 是我们的行向量，那么 f' 可以表示：

  • 垂直列中的单个数据向量。
  • f' 分为三个函数（每个函数采用一个输入）。

让我们在实践中使用它。

当我们看到 x' * x 时，我们的意思是：`x'`（作为单个函数）正在对 x（单个向量）进行操作。结果是点积。换句话说，我们将数据应用于自身。

当我们看到 x * x' 时，我们的意思是 x（作为一组函数）正在对 x'（一组单独的数据点）进行操作。结果是一个网格，我们将每个函数应用于每个数据点。在这里，我们以每种可能的排列方式将数据与其自身混合在一起。

我认为 xx 是 x(x)。它是作用于“向量 x”的“函数 x”。这有助于计算协方差矩阵，即数据中自相似性的度量。

3、将直觉付诸实践

这对我们有什么帮助？当我们看到这样的方程式（来自机器学习课程）：

我现在立刻感觉到发生了什么。在第一个方程式中，我们将 θ（通常是一组数据参数）视为一个函数，并将 作为一个参数传入。这应该会给我们一个单一的值。

更复杂的推导如下：

可以同样解读。在某些情况下，这会变得很棘手，因为我们将数据存储为矩阵中的行（而不是列），但现在我有更好的工具可以跟进。你可以开始估计何时会得到一个单一的值，或者何时会得到一个“排列网格”。

几何缩放和线性组合都有它们的位置，但在这里我想考虑信息。“x 中的信息正在成为一个函数，我们将它自己作为参数传递。”

长话短说，不要局限于单一的直觉。乘法从重复加法发展而来，到缩放（小数），到旋转（虚数），到“应用”一个数字到另一个数字（积分），等等。为什么矩阵乘法不一样呢？

原文链接：A Programmer’s Intuition for Matrix Multiplication

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