NSDT工具推荐： Three.js AI纹理开发包 - YOLO合成数据生成器 - GLTF/GLB在线编辑 - 3D模型格式在线转换 - 可编程3D场景编辑器 - REVIT导出3D模型插件 - 3D模型语义搜索引擎 - AI模型在线查看 - Three.js虚拟轴心开发包 - 3D模型在线减面 - STL模型在线切割 - 3D道路快速建模
在第一篇文章中，我们学习了如何将完整的相机矩阵拆分为内参矩阵和外参矩阵，以及如何正确处理在此过程中出现的歧义。第二篇文章更详细地研究了外部矩阵，研究了其 3D 旋转和平移的几种不同解释。
今天，我们将对内参矩阵进行同样的处理，研究两种等效解释：作为虚拟相机几何形状的描述和作为一系列简单的 2D 变换。之后，你将看到一个交互式演示，说明这两种解释。
如果你对深入研究理论不感兴趣，只想将内在矩阵与 OpenGL 一起使用，请查看文章“OpenGL 中不使用 glFrustum 的校准相机”和“校准相机和 gluPerspective”。
1、针孔相机
内参矩阵将 3D 相机坐标转换为 2D 同质图像坐标。此透视投影由理想针孔相机建模，如下图所示：
内参矩阵由 Hartley 和 Zisserman 参数化为
每个固有参数都描述了相机的几何属性。让我们详细研究一下这些属性。
2、焦距，fx，fy
焦距是针孔和胶片（又称图像平面）之间的距离。出于我们稍后将讨论的原因，焦距以像素为单位测量。在真正的针孔相机中，fx和fy具有相同的值，如下所示为 f：
实际上，fx和 fy可能会因多种原因而有所不同：
- 数码相机传感器存在缺陷。
- 图像在后期处理中缩放不均匀。
- 相机镜头引入了无意的失真。
- 相机使用变形格式，镜头将宽屏场景压缩为标准尺寸的传感器。
- 相机校准错误。
在所有这些情况下，生成的图像都具有非正方形像素。
拥有两个不同的焦距并不是很直观，因此一些文本（例如 Forsyth 和 Ponce）使用单个焦距和“纵横比”来描述与完美正方形像素的偏差量。这种参数化很好地将相机几何形状（即焦距）与失真（纵横比）分开。
3、主点偏移，x0，y0
相机的“主轴”是垂直于穿过针孔的图像平面的线。它与图像平面的交点称为“主点”，如下图所示。
“主点偏移”是主点相对于胶片原点的位置。确切的定义取决于原点位置的约定；下图假设原点位于胶片的左下角。
增加 x0会使针孔向右移动：
这相当于将胶片向左移动，而针孔保持不变。
请注意，相机周围的盒子无关紧要，只有针孔相对于胶片的位置才重要。
4、轴倾斜，s
轴倾斜会导致投影图像发生剪切失真。据我所知，真正的针孔相机没有轴倾斜的类似物，但显然某些数字化过程会导致非零倾斜。我们稍后会进一步研究倾斜。
5、其他几何属性
焦距和主点偏移相当于胶片相对于针孔的简单平移。一定还有其他方法可以变换相机，对吧？旋转或缩放胶片呢？
围绕针孔旋转胶片相当于旋转相机本身，这由外部矩阵处理。围绕任何其他固定点 x
旋转胶片相当于围绕针孔 P旋转，然后平移 (x−P)。
缩放呢？显然，将所有相机尺寸（胶片尺寸和焦距）加倍对拍摄的场景没有影响。相反，如果你将胶片尺寸翻倍而不是焦距翻倍，则相当于将两者翻倍（无操作），然后将焦距减半。因此，明确表示胶片的比例是多余的；它由焦距来捕捉。
6、焦距 - 从像素到世界单位
关于相机缩放的讨论表明，有无数个针孔相机可以产生相同的图像。本征矩阵只关心相机坐标和图像坐标之间的关系，因此绝对相机尺寸无关紧要。使用像素单位表示焦距和主点偏移使我们能够表示相机的相对尺寸，即胶片相对于其像素大小的位置。
另一种说法是，本征相机变换对于相机几何的均匀缩放是不变的。通过以像素单位表示尺寸，我们自然可以捕捉到这种不变性。
如果您知道至少一个相机尺寸（以世界单位表示），则可以使用相似三角形将像素单位转换为世界单位（例如 mm）。例如，如果您知道相机的胶片（或数字传感器）的宽度为 W（以毫米为单位），图像宽度（以像素为单位）为 w，则可以使用以下方法将焦距 fx转换为世界单位：
其他参数 fy、x0和 y0可以使用类似的公式转换为其世界单位对应项 Fy、X0和 Y0：
7、相机视锥体 - 简化针孔相机
正如我们之前所讨论的，只有针孔和胶片的排列才重要，因此相机周围的物理盒子无关紧要。因此，许多关于相机几何的讨论都使用更简单的视觉表示：相机视锥体。
相机的可视区域呈金字塔形，有时被称为“可见性锥体”。让我们在场景中添加一些 3D 球体，并展示它们如何落入可见性锥体并创建图像。
由于相机的“盒子”无关紧要，我们将其移除。另外，请注意，胶片的图像描绘的是现实的镜像版本。为了解决这个问题，我们将使用“虚拟图像”而不是胶片本身。虚拟图像具有与胶片图像相同的属性，但与真实图像不同，虚拟图像出现在相机前面，投影图像未翻转。
请注意，虚拟图像平面的位置和大小是任意的——只要我们将其与针孔的距离加倍，我们就可以将其尺寸加倍。
移除真实图像后，我们只剩下针孔相机的“视锥体”表示。
针孔已被可视锥体的尖端取代，胶片现在由虚拟图像平面表示。稍后我们将在演示中使用此表示。
8、内在参数作为 2D 变换
在前面的部分中，我们将传入的 3 个向量解释为 3D 图像坐标，然后将其转换为齐次 2D 图像坐标。或者，我们可以将这些 3 个向量解释为 2D 齐次坐标，然后将其转换为一组新的 2D 点。这为我们提供了内在矩阵的新视图：一系列 2D 仿射变换。
我们可以将内在矩阵分解为一系列剪切、缩放和平移变换，分别对应于轴倾斜、焦距和主点偏移：
等效分解将剪切置于缩放之后：
这种解释很好地将外部参数和内部参数分别划分为 3D 和 2D 领域。它还强调了内部相机变换发生在投影后。一个值得注意的结果是内部参数不能影响可见性——被遮挡的物体不能通过图像空间中的简单 2D 变换显示出来。
9、演示
下面的演示说明了内部矩阵的两种解释。左侧是“相机几何”解释。请注意，当 x0
和 y0调整时，针孔如何相对于图像平面移动。
右侧是“2D 变换”解释。请注意，改变焦距会导致投影图像缩放，而改变主点会导致纯平移。
10、结束语
在本系列文章中，我们了解了如何将
- 完整的相机矩阵分解为内在矩阵和外在矩阵，
- 将外在矩阵分解为 3D 旋转和平移，
- 将内在矩阵分解为三个基本的 2D 变换。
我们在下面总结了这一完整分解：
原文链接：Dissecting the Camera Matrix, Part 3: The Intrinsic Matrix
BimAnt翻译整理，转载请标明出处
